Simplicial object

　ＰＤＦ　｜Quillen Homology｜Homology of ring｜

　Simplicial setの一般的な考えに、Simplicial Objectが考えられる。これは、

　　　　　　　　　　　　　　　　　

　
　を対称とした圏で、Cが集合ならSimplicial Setで位相空間ならSimplicial Space、群ならばSimplicial Groupと呼ばれる。Cがmodel圏のとき、それを利用してSimplicial ObjectのcatgeoryにもReedy model structureを考える事ができる。
　
　Simplicial Model categoryというものを良く考える事がある。これはSimplicial setのenrichmentプラス、model structureにおける(co)fibrationやweak equivalenceとの兼ね合いを考えたものであるが、やはりその方が何かと扱いやすいことが多い。例えば任意のhomotopy (co)limitが存在してくれたり、Realizationを考えることなどである。model categoryのsimplicialな側面は圧倒的に【Hir02】が詳しい。

　Quillenが考案したhomologyというのは、categoryであるCのabelian objectと呼ばれるsub category、C_abを考え、そのinclusionのC_ab → Cを考える。これはつまり、forgetfull fanctorの意味で、このright adjointが存在するとき、それをAb : C → C_abと書き、Abelianazationと呼ぶ。例えばCがSetならば、C_abはAbelian groupであるし、Ab : C → C_abはfree abelian fanctorのことである。
　このAb : C → C_abのleft derived fanctorがhomologyだという主張らしい。このようなmodel categoryを用いた現代的な見方はGerss Schemmerhornの【GS06】が詳しい。あるいはIyengerの【Iy06】にはそのApplicationも含めて載っている。オリジナルの論文はmodel categoryの枠組みが完成する前の１９６７年、Quillenの「On the homology of commutative rings」である。